ધારો કે S_n = 1 + q + q^2 + ..... + q^n અને T | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે કે $S_n = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$. પદાવલિ $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} S_{r-1}$ છે.$S_{r-1} = \frac{q^r-1}{q-1}$ મૂકતા,આપણને મળે $\sum_{r=

Vedclass · Accepted Answer

$2^{100}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે કે $S_n = \frac{q^{n+1}-1}{q-1}$. પદાવલિ $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} S_{r-1}$ છે.$S_{r-1} = \frac{q^r-1}{q-1}$ મૂકતા,આપણને મળે $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \frac{q^r-1}{q-1} = \frac{1}{q-1} \left( \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} q^r - \sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} \right)$.દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} q^r = (1+q)^{101} - 1$ અને $\sum_{r=1}^{101} {^{101}C_r} = 2^{101} - 1$.આમ,પદાવલિ $\frac{1}{q-1} ((1+q)^{101} - 1 - (2^{101} - 1)) = \frac{(1+q)^{101} - 2^{101}}{q-1}$ બને છે.હવે,$T_{100} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q+1}{2} - 1} = \frac{(\frac{q+1}{2})^{101} - 1}{\frac{q-1}{2}} = \frac{2((q+1)^{101} - 2^{101})}{2^{101}(q-1)} = \frac{(q+1)^{101} - 2^{101}}{2^{100}(q-1)}$.$\frac{(1+q)^{101} - 2^{101}}{q-1} = \alpha \cdot \frac{(1+q)^{101} - 2^{101}}{2^{100}(q-1)}$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $\alpha = 2^{100}$ મળે છે.

Similar Questions

$n$ ધન સંખ્યાઓનો ગુણાકાર એક $(1)$ છે. તેમનો સરવાળો

શ્રેણી માટે,$a_1 = 2$ અને $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3}$ છે. તો $\sum_{r=1}^{20} a_r$ શું થશે?

જો એક $G.P.$ ના પ્રથમ $6$ પદોનો સરવાળો તેના પ્રથમ $3$ પદોના સરવાળા કરતાં $9$ ગણો હોય,તો શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર શું હશે?

શ્રેણી $(2)^2 + 2(4)^2 + 3(6)^2 + ...$ ના $10$ પદો સુધીનો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module